流体力学（第二版）

无数生产实践和科学实验都证明，质量是不生不灭的，物质的总质量总是不变的，这个普遍规律称为质量守恒定律。当物体的运动速度接近光速和在微观的原子核反应中，质量与能量互相转化，质量不再守恒；流体力学研究宏观运动且速度与光速不可比拟，所以质量守恒定律完全成立。

连续性方程的积分形式：对由流体质点组成的物质体，质量 $m=\int_\tau \rho\,d\tau$ 在运动过程中不变，即 $\frac{dm}{dt}=\frac{d}{dt}\int_\tau \rho\,d\tau=0$。利用物质体积分随体导数公式得$\int_\tau \frac{\partial\rho}{\partial t}\,d\tau+\oint_S \rho v_n\,dS=0$，这就是积分形式的连续性方程。

微分形式的连续性方程有两种等价形式：$\frac{d\rho}{dt}+\rho\operatorname{div}\boldsymbol{v}=0$ 或 $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\boldsymbol{v})=0$。由被积函数连续且体积任意，推出被积函数恒等于零。

连续性方程 $\frac{d\rho}{dt}+\rho\operatorname{div}\boldsymbol{v}=0$ 中各项的物理意义：$\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dt}$ 是相对密度变化率，$\operatorname{div}\boldsymbol{v}$ 是相对体积变化率（即速度的散度）。为了维持体积元内质量守恒，必须要求相对密度变化率等于负的相对体积变化率。

用欧拉观点推导连续性方程：在空间中取固定控制面 $S$，体积 $\tau$ 内质量的变化由两个原因产生：一是通过表面 $S$ 有流体流出或流入，单位时间净流出的质量为 $\oint_S \rho v_n\,dS$；二是由于密度场的非定常性，单位时间质量减少 $-\int_\tau \frac{\partial\rho}{\partial t}\,d\tau$。两者相等即得连续性方程。

定常运动的连续性方程为 $\operatorname{div}(\rho\boldsymbol{v})=0$，说明定常运动时单位体积流进和流出的质量应相等。

不可压缩流体的连续性方程为 $\operatorname{div}\boldsymbol{v}=0$。因为流体微团的密度、质量在随体运动中都不变，所以体积在随体运动中也不变。$\operatorname{div}\boldsymbol{v}=0$ 还说明不可压缩流体的速度场是无源场。

流管中平均运动的连续性方程（工程计算常用）：对定常流动 $\rho_1 v_1 S_1=\rho_2 v_2 S_2$，即 $\rho vS=\text{常数}$；对不可压缩均质流体 $v_1 S_1=v_2 S_2$，即 $vS=\text{常数}$。它表明低速气流或水流中，流速与流管截面积成反比：截面积小的地方流速大，截面积大的地方流速小。

连续性方程的四种推导方法：拉格朗日观点（物质体）、拉格朗日观点（体积元）、欧拉观点（控制面）、欧拉观点（固定平行六面体元）。四种方法殊途同归，均得$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\boldsymbol{v})=0$。