流体力学（第二版）

速度环量 $\Gamma=\oint_L \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r}$ 和涡通量 $I=\int_S \boldsymbol{\Omega}\cdot d\boldsymbol{S}$ 通过斯托克斯定理相联系：$\Gamma=I$。引起环量和涡通量随体变化的三大因素是：外力、压强梯度及黏性力沿封闭回线的环量。

如果流体是理想流体，则黏性力等于零，黏性力沿封闭曲线的环量亦为零，导致环量和涡通量发生变化的黏性力因素不起作用。

如果外力有势，即 $\boldsymbol{F}=-\operatorname{grad}V$，则外力沿封闭曲线的环量等于零，有势的外力不会引起速度环量和涡通量发生变化。如果流体是正压的，即 $\frac{1}{\rho}\operatorname{grad}p=\operatorname{grad}\Pi$，则压力梯度沿封闭曲线的环量亦为零，正压流体亦不会引起环量和涡通量发生变化。

黏性、斜压与外力无势是引起速度环量和涡通量发生变化的三大因素。如果这三个因素都不存在，即流体理想、正压且外力有势，则 $\frac{d\Gamma}{dt}=0$，$\frac{dI}{dt}=0$，即环量和涡通量在运动过程中守恒。这就是开尔文定理。

开尔文定理：如果我们考虑的是理想正压流体，且外力有势，则沿任一封闭物质线的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中恒不变。

利用开尔文定理可以证明理想正压流体在有势外力作用下，涡旋的某些动力学性质，例如涡旋不生不灭定理。

环量的随体变化公式：$\frac{d\Gamma}{dt}=-\oint_L \frac{1}{\rho}\operatorname{grad}p\cdot d\boldsymbol{r}+\oint_L \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}+\oint_L \nu\left(\Delta\boldsymbol{v}+\frac{1}{3}\operatorname{grad}(\operatorname{div}\boldsymbol{v})\right)\cdot d\boldsymbol{r}$，三大因素清晰可见。

本书所讨论的有势外力仅限于势函数单值的情况。