流体力学（第二版）

在流体力学的各种实际问题中常常在流动区域内出现涡旋，这些涡旋诱导速度场使整个流动状态发生变化。为了解决各种类型的问题，需要根据涡量场确定速度场。另一方面，在某些绕流问题中，虽然整个流场都是无旋的，但物体对流体的扰动可用一奇点分布（例如涡层）来替代，这时亦需要根据已知的涡量场确定出诱导的速度场。

涡层强度：涡旋有时局限在一个薄层内，此时将它看成无限薄的涡层。设高为 1、底面积为 $d\sigma$ 的体积内涡量为 $\boldsymbol{\Omega}$，则 $\int \boldsymbol{\Omega}\,d\tau=\boldsymbol{\Omega}d\sigma$。令 $\lim\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\gamma}$，称 $\boldsymbol{\gamma}$ 为涡层强度，则 $\int \boldsymbol{\Omega}\,d\tau=\boldsymbol{\gamma}d\sigma$。

涡丝强度：涡旋也可能集中在很细的一根涡管上，此时可近似地将此涡管看成是几何上的一条线，称之为涡丝。令 $\lim\Omega d\sigma=\Gamma$，称 $\Gamma$ 为涡丝强度，则 $\int \boldsymbol{\Omega}\,d\tau=\Gamma d\boldsymbol{l}$。

在有限体积 $\tau$ 内给定涡量场和散度场，而 $\tau$ 以外的区域内既无旋亦无散度。问题可拆成两个线性子问题：$\boldsymbol{v}_1$ 满足无旋散度场（速度势 $\varphi$ 满足泊松方程 $\Delta\varphi=\Theta$），$\boldsymbol{v}_2$ 满足有旋无散度场（矢势 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\Delta\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{\Omega}$）。两者的矢量和就是有旋散度场所感生的速度场。

泊松方程 $\Delta\varphi=\Theta$ 的解为$\varphi=-\frac{1}{4\pi}\int_\tau\frac{\Theta(\xi,\eta,\zeta)}{r}d\tau$。其物理意义：将整个散度场分成许多流体微团，每个微团可看作强度为 $\Theta d\tau$ 的点源，整个散度场诱导的速度场是所有点源诱导速度场之和。

矢势 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\Delta\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{\Omega}$ 且 $\operatorname{div}\boldsymbol{A}=0$，其解为$\boldsymbol{A}=\frac{1}{4\pi}\int_\tau\frac{\boldsymbol{\Omega}}{r}d\tau$，于是 $\boldsymbol{v}_2=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}$。只考虑涡量场时，诱导速度场为$\boldsymbol{v}=-\frac{1}{4\pi}\operatorname{rot}\int_\tau\frac{\boldsymbol{\Omega}}{r}d\tau$。

毕奥-萨瓦尔（Biot-Savart）公式：曲线涡丝元 $d\boldsymbol{l}$ 所诱导的速度为$d\boldsymbol{v}=-\frac{\Gamma}{4\pi}\frac{d\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{r}}{r^3}$，其大小为$|d\boldsymbol{v}|=\frac{\Gamma}{4\pi}\frac{dl\sin\alpha}{r^2}$。它告诉我们曲线涡丝元 $d\boldsymbol{l}$ 所诱导的速度方向垂直于 $d\boldsymbol{l}$ 及 $\boldsymbol{r}$，大小与距离的平方成反比，与 $dl$ 及夹角的正弦成正比。

曲线涡丝自身诱导运动：变曲率孤立的曲线涡丝由于自身诱导作用（与曲率有关）将在流体中运动，并在运动中不断地改变自己的形状。只有在曲率相同的圆形涡管情形下，涡管以常速沿垂直于涡管所在平面的方向向前运动，运动过程中不变形。当曲率为零（直线涡丝）时，涡丝本身不运动。