流体力学（第二版）

理想正压流体在有势质量力作用下，其运动方程在定常及无旋两特殊情形下可以积分出来，运动方程的这两个第一积分分别称为伯努利（Bernoulli）积分和拉格朗日（Lagrange）积分。

理想正压流体在有势外力作用下的运动方程为$\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t}+\operatorname{grad}\left(\frac{v^2}{2}+\Pi+V\right)+\operatorname{rot}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{v}=0$，其中 $\Pi$ 是压强函数（$\frac{1}{\rho}\operatorname{grad}p=\operatorname{grad}\Pi$），$V$ 是质量力势（$\boldsymbol{F}=-\operatorname{grad}V$）。

伯努利积分：除理想、正压、质量力有势这些条件外，如果运动还是定常的（$\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t}=0$），则运动方程变为 $\operatorname{grad}\left(\frac{v^2}{2}+\Pi+V\right)+\operatorname{rot}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{v}=0$。将此式两边点乘流线的单位切矢量，得 $\frac{v^2}{2}+\Pi+V=C(\psi)$，其中 C 是积分常数，它沿同一条流线取同一常数值，在不同流线上可以取不同的值。

（6.1.3）式首先由伯努利在 1738 年导出，故称为伯努利积分，C(ψ) 称为伯努利常数。

均质不可压缩重流体情形：伯努利积分可写成$\frac{v^2}{2}+gz+\frac{p}{\rho}=C(\psi)$。它是水力学中最重要的关系式之一，实质上是机械能守恒的数学表达。左边各项分别代表单位质量内的动能、势能和压力能，即单位质量内的总机械能在流线上守恒。

以重力加速度 g 除各项得 $\frac{v^2}{2g}+z+\frac{p}{\gamma}=C'(\psi)$，式中各项都具有长度量纲：第一项 $\frac{v^2}{2g}$ 称为速度头，第二项 z 称为位势头，第三项 $\frac{p}{\gamma}$ 称为压力头。速度头、位势头和压力头之和沿流线不变。连接各点速度头上端得压力线，再向上截取 $\frac{v^2}{2g}$ 得能线（总水头线），总水头线是一水平直线。

如果重力可以忽略，伯努利积分简化为 $\frac{v^2}{2}+\frac{p}{\rho}=C(\psi)$，此式给出速度和压强之间的关系：流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。例如两船靠得太近时会互相碰撞，因为靠近时两船间流道变窄流速增大，压强比周围小，压差作用使两船互相碰撞。

理想绝热的可压缩流体情形：压强和密度的关系为 $p=C\rho^\gamma$，压强函数为 $\Pi=\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{\rho}$，代入得绝热过程理想可压缩流体的伯努利积分$\frac{v^2}{2}+\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{\rho}+V=C(\psi)$，它代表流体质点的总能量沿流线守恒。

拉格朗日积分：除理想、正压、质量力有势这些假设外，如果在整个流场中运动还是无旋的（$\operatorname{rot}\boldsymbol{v}=0$），则存在速度势 φ，使得 $\boldsymbol{v}=\operatorname{grad}\varphi$。积分得 $\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\frac{v^2}{2}+\Pi+V=f(t)$，其中 f(t) 是 t 的任意函数。对于某一固定时刻而言，f(t) 在整个流场中取同一常数值，这和伯努利积分只是在流线上才取同一数值显然不一样。

伯努利-拉格朗日积分：如果流体理想、正压、质量力有势，运动定常而且无旋，则 $\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0$，f(t) 只能是常数，得 $\frac{v^2}{2}+\Pi+V=C$。它和伯努利积分形式相同，但常数 C 在整个流场中取同一值，与伯努利积分的 C(ψ) 只在同一根流线上取相同值很不相同。