流体力学（第二版）

在空间某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称此函数为场。若研究的是标量函数，称标量场（如温度场、压强场、密度场）；若研究的是矢量函数，称矢量场（如速度场、力场、电磁场）。

若同一时刻场内各点函数值都相等，则称此场为均匀场，反之称非均匀场；若场内函数值不随时间改变，则称定常场，反之称非定常场。均匀定常场满足 $\varphi=\varphi_0$、$a=a_0$（常量）。

场论是研究标量场及矢量场数学性质的一门数学分支，是学习流体力学的必备工具。流体力学研究的对象正是速度场、压强场、密度场等标量场与矢量场。

取固定时刻 $t_0$，令 $\varphi(r,t_0)=\varphi_0$（常数），得到对应曲面称为等势面。取一系列不同 $\varphi_0$ 值，整个标量场被一组等势面分成许多区域。等势面靠得近的地方函数变化快，靠得远的地方变化慢；函数值改变主要发生在等势面法线方向，沿等势面切线方向函数值不改变。

矢量场方向用矢量线表示：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合。设 $dr$ 为矢量线切向元素，则由 $a\times dr=0$ 得矢量线微分方程 $\frac{dx}{a_x}=\frac{dy}{a_y}=\frac{dz}{a_z}$。

在场内取任一非矢量线的封闭曲线 $C$，过 $C$ 上每一点作矢量线，这些矢量线所围成的区域称为矢量管。

矢量大小是标量，可用等势面概念表示其大小分布；矢量方向用矢量线表示。于是矢量场的几何表示由“大小（等势面）+方向（矢量线）”两部分构成。

过 $M$ 点沿曲线 $s$ 方向的方向导数定义为 $\frac{\partial\varphi}{\partial s}=\lim_{M'\to M}\frac{\varphi(M')-\varphi(M)}{MM'}$，它表征标量函数 $\varphi$ 在 $M$ 点沿该方向的函数变化率。

设 $\boldsymbol{n}$ 为过 $M$ 点等势面的法线单位矢量（指向 $\varphi$ 增长方向），则大小 $\partial\varphi/\partial n$、方向 $\boldsymbol{n}$ 的矢量称为标量函数 $\varphi$ 的梯度，记为 $\operatorname{grad}\varphi$。它是标量场不均匀性的量度。

任一方向 $s$ 上的方向导数等于梯度在该方向上的投影：$\frac{\partial\varphi}{\partial s}=\boldsymbol{s}_0\cdot\operatorname{grad}\varphi$。梯度在直角坐标系中的表达式为 $\operatorname{grad}\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\boldsymbol{k}$。