流体力学（第二版）

流体静力学是研究流体在外力作用下静止（绝对静止或相对静止）时的状态。流体静力学可以分为液体静力学（研究不可压缩流体，主要是水）和气体静力学（研究可压缩流体，主要是空气）。水压机、液体压力机、虹吸管等机器及仪器就是根据流体静力学原理制造出来的。

当流体静止时，$\boldsymbol{v}=0$，应力张量 $P=-p\boldsymbol{I}$，其中 $p$ 是静力学压强函数。静力学基本方程组为$\rho\boldsymbol{F}=\operatorname{grad}p$（绝对静止），$\rho[\boldsymbol{F}-\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})]=\operatorname{grad}p$（相对静止），状态方程 $\rho=\rho(p,T)$ 及能量方程。

设流体是均质的或正压的，则压强、密度和温度可以分开求。均质流体：$\rho\boldsymbol{F}=\operatorname{grad}p$；正压流体：$\rho\boldsymbol{F}=\operatorname{grad}p$，$p=P(\rho)$。

若静止流体有自由面（液体和气体的交界面），则在自由面上应满足 $p=p_0$ 的条件，其中 $p_0$ 是给定的已知压强（例如大气压）。此条件说明自由面也是等压面。流体静止时，等压面必须和外力 $\boldsymbol{F}$ 垂直。

当外力有势时，在等势面上压强、密度和温度都等于常数，即等势面同时也是等压面、等密度面与等温度面。因为自由面是等压面，它一定也是等势面，于是自由面的形状由方程 $V=\text{常数}$ 确定。当外力是重力时 $V=gz$，自由面的方程为 $z=\text{常数}$，由此可见重流体在静止时，其自由面一定是平面。

外力限制条件：只有外力满足一定条件，流体才可能平衡。由静力学方程推出 $\boldsymbol{F}\cdot\operatorname{rot}\boldsymbol{F}=0$，这就是外力限制条件。显然有势外力满足这个条件，因此流体在有势外力场作用下有可能静止。在重力场或引力场中流体有可能静止。

对均质流体，设外力有势，$\rho\boldsymbol{F}=\operatorname{grad}p$ 可写成 $\operatorname{grad}(p+\rho V)=0$，积分得压强分布为 $p+\rho V=\text{常数}$。

当外力是重力时，取自由面为 Oxy 平面，z 轴垂直向下，则 $V=-gz$。考虑到边界条件 z=0 处 $p=p_0$，得 $p=p_0+\rho gz$。这就是著名的液体静力学定律：液体在深度 z 处的压强等于自由面上的压强与高为 z 底为 1 的液柱的重量之和。

液体静力学定律还可改写为 $\frac{p}{\rho g}+z'=\frac{p_0}{\rho g}$，其中 $z'=z+\frac{p_0}{\rho g}$，$z'=0$ 的平面称等效自由面。如果深度从等效自由面算起，则压强的公式采取更简单的形式。

帕斯卡（Pascal）定律：静止流体各点上的压强随自由面压强发生同样的改变，$\delta p=\delta p_0$，即自由面上压强的变化瞬时间传至静止流体各点。