流体力学（第二版）

重力场中的理想不可压缩均质流体，若在某种外界作用下自由面离开平衡位置，重力力图使自由面恢复原位，于是流体中产生运动，这种运动以波的形式在整个自由面上传播，称为重力波（表面波）。

表面波按振幅与波长的关系分为两类：振幅远小于波长者称为小振幅波；振幅与波长相比不小很多者称为有限振幅波。本章只限于研究小振幅波。

设振幅为 a、波长为 λ，则波面坐标 ζ 的量阶为 a；速度分量量阶为 a/τ（τ 为周期），速度对时间与坐标的偏导数量阶分别为 a/τ² 与 a/(τ²λ)。据此量阶估计，动量方程中位变导数$(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}$与就地导数$\partial\boldsymbol{v}/\partial t$之比为 a/λ 量阶，是小量，故小振幅波的运动是无旋的。

小振幅波的速度势函数 φ 满足拉普拉斯方程$\Delta\varphi=0$；速度由 $\boldsymbol{v}=\operatorname{grad}\varphi$ 确定，压强由拉格朗日积分 $p/\rho=-\partial\varphi/\partial t-gz+p_0/\rho$ 确定。

波浪运动的速度势 φ 应满足的边界条件有两类：在固壁上法向速度分量为零，即 $\partial\varphi/\partial n=0$；在自由面 z=0 上，将动力学条件与运动学条件联立消去自由面位移 ζ 后，得到 $\partial^2\varphi/\partial t^2+g\,\partial\varphi/\partial z=0$。

初始条件与重力波的产生方式有关，分两类：由初始位置变化引起的，有 $\partial\varphi/\partial t=gf(x,y)$（t=0 时）；由初始速度变化（冲量作用）引起的，有 $\varphi=F(x,y)$（t=0 时）。

波浪运动的完整定解问题：$\Delta\varphi=0$；固壁上 $\partial\varphi/\partial n=0$，z=0 处 $\partial^2\varphi/\partial t^2+g\,\partial\varphi/\partial z=0$；t=0 时 $\varphi=F(x,y)$，$\partial\varphi/\partial t=gf(x,y)$。解出 φ 后，速度、压强与自由面形状分别由 $\boldsymbol{v}=\operatorname{grad}\varphi$、$p/\rho=-\partial\varphi/\partial t-gz+p_0/\rho$ 与 $\zeta=-\frac{1}{g}\left.\frac{\partial\varphi}{\partial t}\right|_{z=0}$ 决定。

自由面动力学条件表明自由面是等压面：在 z=ζ 处 $p=p_0$（大气压强）。自由面运动学条件给出 $w=\frac{d\zeta}{dt}=\frac{\partial\zeta}{\partial t}$（z=ζ 处，一阶近似下取 z=0）。将动力学与运动学条件联立即得组合边界条件。

平面波假设：只考虑 Ozx 平面上的平面波，运动与 y 无关；并假定流体无界（深度与两侧均伸展到无穷远），这是深度和长度比波长大得多时的近似模型，此时固壁边界条件被 z=-∞ 处 $\partial\varphi/\partial z=0$ 及两侧速度有限的条件代替。

用分离变量法 $\varphi(x,z,t)=T(t)\Psi(x,z)$ 求解，得到 $T''(t)+\omega^2T(t)=0$ 与 $X''+k^2X=0,\quad Z''-k^2Z=0$。结合 z=-∞ 处条件与自由面条件，得色散关系 $\omega^2=gk$。