流体力学（第二版）

无穷长直线涡丝诱导的速度场：设涡丝强度为 $\Gamma$、方向垂直向上，取柱坐标。由毕奥-萨瓦尔公式积分得 $v_\theta=\frac{\Gamma}{2\pi\rho}$。速度与 $z$ 无关，即在平行于 z 轴的直线上各点速度完全相同，因此无穷长直线涡丝诱导的是平面运动，在垂直于 z 轴的平面上表现为一个点涡。

一段直线涡丝 AB 对空间任一点 M 所感应的速度为$v_\theta=\frac{\Gamma}{4\pi\rho}(\cos\beta+\cos\gamma)$，其中 $\beta$、$\gamma$ 是 A、B 点对应的角度。半无穷长直线涡丝对端点诱导的速度 $v_\theta=\frac{\Gamma}{4\pi\rho}$，恰好是无穷长涡丝诱导速度的一半。

圆形涡丝的诱导速度：考虑半径为 a 的圆形涡丝，利用矢势法积分，涡丝附近质点的速度以 $1/\rho$ 阶次趋于无穷，而圆形涡丝本身则以 $\ln\rho$ 阶次的无穷大速度向前运动。虽然涡丝以无穷大速度向前运动，涡丝附近的流线仍为封闭曲线。

半径为 a 的有限粗涡环的前进速度为$U=\frac{\Gamma}{4\pi a}\left(\ln\frac{8a}{r_0}-\frac{1}{4}\right)$，其中 $r_0$ 是涡核半径。可见随着涡环半径 a 的增长，涡环前进速度减少。

两涡环穿行的解释：前后两个涡环，后涡环产生的速度场在前涡环上产生向外的径向速度分量，使前涡环半径不断增大，前进速度逐渐减少；前涡环产生的速度场在后涡环上产生向里的径向速度分量，使后涡环半径不断减小，前进速度不断加快，最终穿过前涡环，前后涡环易位。此过程可重复直到涡环能量耗散完。

切向速度间断面：切向速度在很薄一层里发生剧烈变化的薄层抽象为几何上的一个面，在这个面上切向速度发生间断，这样的面称为切向速度间断面。切向速度间断面是和涡层等价的：它实际上是具有很强剪切速度的薄层，层内点点有旋，因此是涡层；反过来涡层可看成由无限的涡丝系列组成。

常强度无界平板涡层诱导的速度场：涡层两边的流体速度到处都是均匀的，它平行于涡层且和 $\boldsymbol{\gamma}\times\boldsymbol{n}$ 垂直，但走向不同：上半平面向左而下半平面向右。因此涡层是切向速度间断面，间断值 $[\boldsymbol{v}]=\boldsymbol{\gamma}\times\boldsymbol{n}$。

柱形涡层是母线方向速度分量的间断面：考虑具有任意横截面的柱形涡层，诱导速度当 P 点在柱体内时等于零，在柱体外时由平面角积分确定，柱形涡层是母线方向速度分量的间断面。