流体力学（第二版）

至少在一部分区域中 $\operatorname{rot}\boldsymbol{v}\neq 0$ 的流体运动称为有旋运动；若在整个流动区域中 $\operatorname{rot}\boldsymbol{v}=0$，则称此流体运动为无旋运动。自然界中的流体运动绝大多数是有旋运动。

涡旋的产生和变化对流体运动有重要影响：飞机与船只在流体中运动时，尾部产生的涡旋消耗动能，形成航行阻力；涡旋的产生也将降低旋转机械（水轮机、汽轮机等）的功率。另一方面，大型水坝建筑物中常采用消能设备，人为制造涡旋运动以消耗水流动能，保护坝基不被水流冲坏。

研究涡旋运动具有重要的理论意义：无旋运动比有旋运动容易处理，因为它在数学上有着重要的简化。因此在什么条件下流体运动可以近似地看成无旋运动的问题十分感兴趣，而这个问题的解决有赖于涡旋运动的研究。本章通过涡旋的运动学性质和动力学性质的研究，揭示涡旋的产生、发展和消亡的规律。

涡旋场是无源场，即 $\operatorname{div}\boldsymbol{\Omega}=\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{v})=0$。根据无源场的性质，涡旋的运动学性质可叙述为：（1）涡管中任一横截面上的涡通量保持同一常数值，称为涡管强度；（2）涡管不能在流体中产生或消失。

涡管强度：涡通量在涡管的每一个横截面上都相等，因此可以用它来表征涡管内涡旋的强弱，称之为涡管强度。$\Omega_n dS_0$ 是涡管元的强度，其中 $dS_0$ 是任一与 $\boldsymbol{\Omega}$ 垂直的涡管元横截面的面积。

涡管不能在流体中产生或消失。两种看似可能的情形都不成立：（1）涡管截面积趋于零导致涡量趋于无穷，物理上不可能；（2）涡管在流体中突然中断或出现，将导致通过封闭曲面的涡通量不为零，与涡旋场是无源场矛盾。

涡旋的运动学性质不牵涉应力，因此它们既适用于理想流体，也适用于黏性流体。

涡面：涡量 $\boldsymbol{\Omega}$ 在涡面法线单位矢量 $\boldsymbol{n}$ 上的投影等于零的曲面。涡管是涡面的一种特殊情况（由涡线组成的管状曲面）。

涡线保持定理（亥姆霍兹第一定理）与涡管强度保持定理（亥姆霍兹第二定理）在理想正压流体且外力有势的条件下成立，全面描述了涡旋的随体变化规律：流体质点好像冻结在涡线上随涡线一起运动，同时涡管强度保持不变。这种性质称为保持性（或冻结性）。

在重力场作用下的理想不可压缩流体，考察均匀来流定常绕流的涡旋性问题：理想、正压、质量力有势三个条件都满足。在不分离绕流情况下，流场中任一点的流体质点都来自无穷远处，因无穷远处运动无旋，所以根据涡旋不生不灭定理，整个流场都是无旋的。