流体力学（第二版）

黏性不可压缩流体的基本方程组（直角坐标）为：连续性方程 $\nabla\cdot\boldsymbol{v}=0$，运动方程 $\rho\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\rho\boldsymbol{F}-\nabla p+\mu\Delta\boldsymbol{v}$，本构方程 $p_{ij}=-p\delta_{ij}+2\mu S_{ij}$。与理想流体方程组相比，多了黏性项 $\mu\Delta\boldsymbol{v}$。

黏性流体的边界条件主要有三种：静止固壁上满足黏附条件 $\boldsymbol{v}=0$（法向与切向速度均为零）；运动固壁上 $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_w$；自由面上满足 $p_{nn}=p_0,\quad p_{n\tau}=0$。因为黏性流体方程是二阶偏微分方程，物面上需要两个边界条件。

重力为常数时，引进广义压强 $p'=p-p_0-\rho\boldsymbol{g}\cdot\boldsymbol{r}$ 可从运动方程中消去重力项，得 $\rho\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=-\nabla p'+\mu\Delta\boldsymbol{v}$。

只有在边界条件中只包含速度不包含压强时，引进广义压强才是有效的；且仅在密度为常数时许可。若边界条件中出现压强，广义压强的引入会使边界条件变复杂，得不偿失。

本构方程（广义牛顿公式）在直角坐标系中为：$p_{xx}=-p+2\mu\frac{\partial u}{\partial x}$，$p_{xy}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)$ 等。本构方程将应力与变形速度张量联系起来，是封闭方程组所必需的。

初始条件：t=0 时在所考虑的流场中给出速度场的分布。对黏性流体而言，由于方程是二阶偏微分方程，初始条件只需给出速度（不必给压强）。

黏性流体运动的一般性质有三个方面：（1）运动的有旋性；（2）能量的耗散性；（3）涡旋的扩散性。

黏性不可压缩流体运动的有旋性可用反证法说明：若运动无旋，则 rotΩ=0，黏性力项消失，方程组退化为理想流体方程组；但理想流动的解一般不满足固壁黏附条件 v=0，故黏性流体的无旋解一般不存在。

黏性流体中体力和面力所做的功只有一部分变成动能，另一部分被黏性应力耗散成热能。单位体积耗散的动能由耗散函数 $\Phi=2\mu S:S$ 表征，它和变形速度张量各分量的平方和成正比：变形速度愈大，耗散愈大；无变形时耗散为零。

突然起动平板问题：平板从静止突然以速度 U 运动，黏性不可压缩流体满足热传导方程 $\frac{\partial u}{\partial t}=\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$。引进无量纲变量 $\eta=y/2\sqrt{\nu t}$ 后化为 $f''+2\eta f'=0$，解得 $u=U(1-\operatorname{erf}\eta)$。热传导与涡旋扩散遵循同一规律。