流体力学（第二版）

理想不可压缩流体无旋运动的基本方程组为：$\Delta\varphi=0$（拉普拉斯方程），$\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\frac{v^2}{2}+\frac{p}{\rho}+V=f(t)$（拉格朗日积分），$\operatorname{grad}\varphi=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{r})$；在静止固壁上 $\frac{\partial\varphi}{\partial n}=0$。

无旋运动的数学简化体现在三点：（1）未知函数由四个降低到两个，方程组数目由四个降至两个；（2）原来四个方程是一个线性方程和三个非线性方程，现在变成一个线性方程（拉氏方程）和一个非线性代数关系式；（3）运动学函数 φ 和动力学函数 p 可以分开求出：先从 $\Delta\varphi=0$ 解出 φ，再代入拉格朗日积分求出 p。

理想流体的模型主要适用于黏性力比其他类型的力小得多的流动区域，对于机翼剖面上的压强分布、速度分布及其所受的升力等比较符合；不可压缩流体模型适用于在通常条件下运动的液体以及低速定常运动的气体，对于水击与水中爆炸等压缩性起主导作用的问题必须抛弃。

理想正压流体、外力有单值势的条件下，从静止或无旋状态开始的非定常运动及无穷远处均匀来流的定常连续绕流问题都是无旋运动。

尽管理想不可压缩流体无旋运动具有一定局限性，但它除了具有确定实际意义外，还提供了有关流动性质的许多有益资料，积累了处理问题的各种方法，是进一步处理更复杂流动的必不可少的基础。

速度势函数 φ 与速度矢量的关系为 $\boldsymbol{v}=\operatorname{grad}\varphi$。已知速度矢量求速度势的公式为 $\varphi(M)=\varphi(M_0)+\int_{M_0}^{M}\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r}$。φ(M₀) 可以任意选择，因此速度势函数在不同选取下可以差一常数，但这并不影响流动本质。

连通区域：区域内任两点都可用区域内一连续曲线连接则称为连通的；区域内任一封闭曲线可以不出边界地连续收缩到一点则称为单连通区域。能作 n−1 个分隔面而不破坏区域连通性的称为 n 连通区域，能作一个分隔面的称为双连通区域。圆环内部区域是双连通区域。

在单连通区域内沿任一封闭回线的速度环量皆等于零，线积分 $\int\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r}$ 与积分路线无关，速度势函数是单值函数；在双连通区域内，线积分与路线有关，速度势函数是多值函数，各值之间相差 kΓ，其中 Γ 为环量。孤立涡管外的无旋区域是双连通区域。

速度势函数在流体内部不能有极大值或极小值；速度的大小在流体内不能达到极大值，速度的极大值位于流动区域的边界上；在流体内部压强不能达到极小值，压强极小值只可能发生在边界点上。一般说来，压强极小点的位置和速度极大点的位置并不重合，只有当流动定常、重力可忽略时两者才完全相同。

有界单连通区域动能的表达式为 $T=\frac{\rho}{2}\left(\int_{S_1}\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial n}\,dS+\int_{S_2}\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial n}\,dS\right)$。区域内动能 T 只依赖于边界上的 φ 及 ∂φ/∂n。若在边界上 φ=0（固壁）或 φ=常数，则 T=0，V=0，即流体是静止的。