流体力学（第二版）

设流体运动由拉格朗日方法给定，则流体质点的径矢 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(a,b,c,t)$，其中 a、b、c 是初始时刻流体质点的曲线坐标，函数 r 是 a、b、c 及 t 的单值连续函数。采用欧拉方法时，同样假设转换到拉格朗日观点上的描写函数是单值连续的。

在单值连续函数假设下，初始时刻组成某连续曲线（曲面或体积）的流体质点在以后（或以前）任一时刻必然组成连续的曲线（曲面或体积）。以曲线为例：初始时刻连续曲线 L₀ 经运动后，其像仍为连续曲线 L。

连续曲线的参数表示：设初始时刻流体质点组成连续曲线 $L_0:\;\mathbf{r}=\mathbf{r}(\lambda)$，将 (2) 式代入拉格朗日解，得复合函数 $F_1(\lambda,t),F_2(\lambda,t),F_3(\lambda,t)$，它们是 λ 的连续函数，故流体质点在 t 时刻占据的位置亦组成连续曲线。

若初始曲线 L₀ 是闭合的，则由 r(x₁,λ₂) 的连续性推出运动后流体质点组成的曲线仍是闭合的。完全同样地可以证明组成连续曲面（或体积）的流体质点在任一时刻亦组成连续的曲面（或体积）。

体积分的随体导数：流动体积随时间改变大小和形状，被积函数 g(r,t) 的数值也随时间改变，因此体积分 $\int_\tau g\,d\tau$ 在不同时刻取不同值。其随体导数由两项组成：$\frac{d}{dt}\int_\tau g\,d\tau=\int_\tau \frac{\partial g}{\partial t}\,d\tau+\int_S g\mathbf{v}\cdot d\mathbf{S}$。

体积分随体导数的物理含义：第一项 $\int_\tau \frac{\partial g}{\partial t}\,d\tau$ 是标量场非定常性引起的；第二项 $\int_S g\mathbf{v}\cdot d\mathbf{S}$ 是函数 gv 通过表面 S 的通量，是流动体积改变引起的。

利用奥-高公式，体积分随体导数可写成积分号内形式：$\frac{d}{dt}\int_\tau g\,d\tau=\int_\tau \left(\frac{\partial g}{\partial t}+\mathrm{div}(g\mathbf{v})\right)d\tau$。

面积分的随体导数：设通过流动曲面 S 的涡通量 $I=\int_S \boldsymbol{\Omega}\cdot d\mathbf{S}$，其中 Ω 为涡量。其随体导数为$\frac{dI}{dt}=\int_S \left[\frac{\partial \boldsymbol{\Omega}}{\partial t}+\mathrm{rot}(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v})\right]\cdot d\mathbf{S}$。

推导面积分随体导数时用到：曲面 S、新曲面 S₁ 和侧面所围成的封闭曲面对 Ω 应用奥-高定理（divΩ=0），再利用斯托克斯公式将回线积分化为面积分，并注意 $d\boldsymbol{\tau}=d\mathbf{r}\times\mathbf{v}\Delta t$。

线积分的随体导数：沿流体质点组成的流动封闭曲线 L 的速度环量 $\Gamma=\oint_L \mathbf{v}\cdot\delta\mathbf{r}$，其随体导数$\frac{d\Gamma}{dt}=\oint_L \frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\delta\mathbf{r}$。这是开尔文（Kelvin）定理推导的基础。